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斯泰因豪斯对巴拿赫说:“你对函数的理解已经足够深刻了,可能是个革命。”
巴拿赫说:“以前研究函数是数字,方程这些东西。而对我来说,函数应该更加广泛才对。所以,就叫更广泛的函数,简称泛函数。”
斯泰因豪斯说:“你的意思是?”
巴拿赫说:“自变量和因变量纯粹就是集合,要按照集合的样子严谨分析。”
斯泰因豪斯说:“你的意思是不仅限于数字,而是任何一种可以组成集合的元素,也就是任何一种研究对象?比如,数字、图形、符合甚至语言等等?”
巴拿赫说:“没错,但是在这里面我们需要严格定义。”
斯泰因豪斯说:“如何严格呢?”
巴拿赫说:“首先我研究的是无限维空间,而且无限维空间必须要有各个单位,成为基。这需要引入佐恩引理。”
斯泰因豪斯说:“我知道,是在任何一非空的偏序集中,若任何全序的子集都有上界,则此偏序集内必然存在极大元。数字有大小,集合的大小也就是这样了。按照偏序集来,真正序不太可能了。”
巴拿赫说:“主要原因是来源于非欧几何,我们为了让整个几何结构严谨,才在希尔伯特空间基础上加工出这样的结构来。”
泛函分析目前包括以下分支:
软分析,其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。
巴拿赫空间的几何结构,以JeanBourgain的一系列工作为代表。
非交换几何,此方向的主要贡献者包括AlainConnes,其部分工作是以GeorgeMackey的遍历论中的结果为基础的。
与量子力学相关的理论,狭义上被称为数学物理,从更广义的角度来看,如按照IsraelGelfand所述,其包含表示论的大部分类型的问题。
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