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勒让德教授贝塞尔二阶微分方程相关知识。
贝塞尔说:“你这个多项式是从哪里来的?”
勒让德说:“从勒让德方程推导出来的。”
贝塞尔说:“勒让德方程是从哪里来的?”
勒让德说:“从连带勒让德方程得到的,这个方程在m值为0,也就是在轴对称情况下得到的。在球函数方程分离变量时,可出现连带勒让德方程。”
贝塞尔说:“连带勒让德方程又是什么东西?”
勒让德说:“连带勒让德方程是一个二阶常微分方程。”
贝塞尔说:“二阶常微分方程是这个样子吗?”
贝塞尔说着,写出了方程:y+py+qy=0。
勒让德说:“这是齐次的的二阶常系数线性微分方程。”
勒让德写了方程y+py+qy=f(x),这个是二阶常系数线性微分方程,对贝塞尔说:“还必须是其中y1和y2的比值为常数才可以,如果不是常数,就是非齐次的。”
贝塞尔说:“你是研究这些方程解法的吧?一般有哪些方法?”
勒让德说:“有待定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。”
贝塞尔说:“二阶常系数线性微分方程如何解呢?”
勒让德说:“先写出特征方程。”
勒让德写出了y+py+qy=0的特征方程r^2+pr+q=0。
然后写出特征方程的解后,然后写出三种条件下的通解:
1.两个不相等的实根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
2.两根相等的实根:y=(C1+C2x)e^(r1x)
3.一对共轭复根:r1=α+iβ,r2=α-iβ:y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
贝塞尔说:“那如何得到非齐次的解?”
勒让德说:“通解等于非齐次方程特解加齐次方程通解。”
贝塞尔说:“这个有什么用吗?”
勒让德说:“在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。”
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